احاطه ی ضعیفاً همبند در گراف ها

این پایان نامه، مشتمل بر 3 فصل است. در فصل اول تعاریف مقدماتی و قضایای پایه ای را بیان می کنیم. سپس در فصل دوم عدد احاطه ای ضعیفاً همبند و در فصل سوم عدد زیرتقسیم احاطه ای ضعیفاً همبند را بررسی نموده و کران هایی برای آن ها ارائه می کنیم. همچنین مقدار دقیق این پارامتر ها را برای برخی از گراف ها بدست می آوریم. فرض کنید g یک گراف با مجموعه رأس های (v(g و مجموعه یال های (e(g باشد. زیر مجموعه s از رأس های g، یک مجموعه احاطه گر برای g نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. مینیمم کاردینالیتی در بین تمام مجموعه های احاطه گر گراف g را عدد احاطه ای آن می نامند. زیرمجموعه s از رأس های g، یک مجموعه احاطه گر همبند برای g نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور بوده و زیرگراف القایی [g[s همبند باشد. مینیمم کاردینالیتی در بین تمام مجموعه های احاطه گر همبند گراف g را عدد احاطه ای همبند آن می نامند. فرض کنید (‎g=(v,e, یک گراف همبند بوده و s زیر مجموعه v. زیرگراف ضعیفاً القا شده توسط s، گراف ?s?w = (n[s] , e ? (s×n[s])). است. مجموعه s از g یک مجموعه احاطه گر ضعیفاً همبند است اگر s احاطه گر و ?s?w همبند باشد. عدد احاطه ای ضعیفاً همبند از g، مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر ضعیفاً همبند از g است. فرض کنید g یک گراف و µ(g) یک پارامتر از آن باشد. هنگامی که از نظریه گراف، در شبکه های مختلف استفاده می شود، چون شبکه پویاست و احتمال تغییرات لحظه ای وجود دارد، لذا مطالعه تأثیر تغییرات مختلف شبکه بر روی پارامتر (µ(g حائز اهمیت است. تأثیر حذف رأسی از گراف یا با حذف یالی از آن و یا افزودن یالی به آن بر روی عدد احاطه ای، به طور گسترده مطالعه شده اند. زیرتقسیم xy عبارت است از اینکه این یال را حذف و رأس جدید z همراه با دو یال جدید xz و zy را به گراف بیافزاییم. واضح است که زیرتقسیم یک یال از گراف، عدد احاطه ای آن را کاهش نمی دهد. مینیمم تعداد یال هایی از گراف g را که با زیرتقسیم آن ها عدد احاطه ای افزایش یابد را عدد زیرتقسیم احاطه ای نامند. عدد زیرتقسیم احاطه ای ضعیفاً همبند از گراف همبند g، مینیمم تعداد یال هایی است مه به منظور افزایش عدد احاطه ای ضعیفاً همبند باید تقسیم شود. چون با زیرتقسیم تنها یال گراف k2 عدد احاطه ای ضعیفاً همبند، گراف هایی را در نظر می گیریم که مرتبه آن ها حداقل 3 باشد.